一、概率论的起源：

概率论起源于对赌博问题的研究。早在16世纪，意大利学者卡丹与塔塔里 亚等人就已从数学角度研究过赌博问题。他们的研究除了赌博外还与当时的人口、保险业等有关，但由于卡丹等人的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明确，于是很快被人淡忘了。

概率概念的要旨只是在17世纪中叶法国数学家帕斯卡与费马的讨论中才比较明确。他们在往来的信函中讨论”合理分配赌注问题”。该问题可以简化为：

甲、乙两人同掷一枚硬币。规定：正面朝上，甲得一点；若反面朝上，乙得一点，先积满3点者赢取全部赌注。假定在甲得2点、乙得1点时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才算公平合理。

帕斯卡：若在掷一次，甲胜，甲获全部赌注，两种情况可能性相同，所以这两种情况平均一下，乙胜，甲、乙平分赌注，甲应得赌金的3/4，乙得赌金的1/4。

费马：结束赌局至多还要2局，结果为四种等可能情况：情况１２３４

胜者甲甲甲乙乙甲乙乙

前3种情况，甲获全部赌金，仅第四种情况，乙获全部赌注。所以甲分得赌金的3/4，乙得赌金的1/4。

帕斯卡与费马用各自不同的方法解决了这个问题。虽然他们在解答中没有明确定义概念，但是，他们定义了使某赌徒取胜的机遇，也就是赢得情况数与所有可能情况数的比，这实际上就是概率，所以概率的发展被认为是从帕斯卡与费马开始的。后来他们还研究了更复杂的在多个赌徒间分赌注的问题。

1655年，荷兰数学家惠更斯恰好也在巴黎，他了解了帕斯卡与费马的工作详情之后，也饶有兴趣地参加了他们的讨论，讨论的情况与结果被惠更斯总结成《关于赌博中的推断》一书，这是公认的有关或然数学的奠基之作。

二、概率论的发展：

在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量等重要概念以及它们的基本性质。后来由于许多社会问题和工程技术问题，如：人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等。这些问题的提法，均促进了概率论的发展，从17世纪到19世纪，贝努利、隶莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切贝谢夫、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发展做出了杰出的贡献。在这段时间里，概率论的发展简直到了使人着迷的程度。但是，随着概率论中各个领域获得大量成果，以及概率论在其他基础学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给出的概率定义的局限性很快便暴露了出来，甚至无法适用于一般的随机现象。因此可以说，到20世纪初，概率论的一些基本概念，诸如概率等尚没有确 切的定义，概率论作为一个数学分支，缺乏严格的理论基础。
俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯·米西斯(R.von Mises,1883-1953)对概率论的理论化做了最早的尝试，但它们提出的公理理论并不完善。事实上，真正严格的公理化概率论只有在测度论和实变函数理论的基础才可能建立。这方面的先行者是法国数学家博雷尔(E.Borel,1781-1956)他首先将测度论方法引入概率论重要问题的研究，1909年他提出并在特殊情形下解决了随机变量序列§1，§2，…，服从大数定律的条件问题。他的工作激起了数学家们沿这一崭新方向的一系列搜索。特别是原苏联数学家科尔莫戈罗夫的工作最为卓著。他在1926年推倒了弱大数定律成立的充分必要条件。后又对博雷尔提出的强大数定律问题给出了最一般的结果，从而解决了概率论的中心课题之一——大数定律，成为以测度论为基础的概率论公理化的前奏。1933年，科尔莫戈罗夫出版了他的著作《概率论基础》，这是概率论的一部经典性著作。在科尔莫戈罗夫的公理化理论中，对于域中的每一个事件，都有一个确定的非负实数与之对应，这个数就叫做该事件的概率。在这里，概率论的定义同样是抽象的，并不涉及频率或其他任何有具体背景的概念。他还提出了6条公理，之后的整个概率论大厦都可以从这6条公理开始建起。科尔莫戈罗夫的公理系也因此逐渐获得了数学家们的普遍承认。科尔莫戈罗夫是20世纪最杰出的数学家之一，他不仅仅是公理化概率论的建立者，在数学和力学的众多领域他都做出了开创或奠基性的贡献，同时，他还是出色的教育家。他多次获得国际大奖，1965年，他把得到的国际巴桑奖金全数捐赠给学校图书馆，1980年他荣获沃尔夫奖。
概率论的公理化，使其成为了一门严格的演绎科学，取得了与其他数学分支同等的地位，并通过集合论与其他数学分支密切地联系着。

三．概率论理论基础的建立：

概率论的第一本专著是1713年问世的雅各·贝努利的《推测术》。经过二 十多年的艰难研究，贝努利在该树种，表述并证明了著名的”大数定律”。所谓”大数定律”，简单地说就是，当实验次数很大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小。这一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更广泛应用领域的桥梁。因此，贝努利被称为概率论的奠基人。之后，法国数学家数学家棣莫弗(Abraham?De Moivre,1667-1754)把概率论又作了巨大推进，他在1718年发表的《机遇原理》一书中提出了概率乘法法则，以及“正态分布”和“正态分布律”的概念，为概率论的“中心极限定理”建立奠定了基础。值得一提的是，棣莫弗还于1730年出版的概率著作《分析杂录》中使用了概率积分，得出了n阶乘的级数表达式。他还于1725年出版专门论著，把概率论首次应用于保险事业上。

四．概率论在现实生活中的运用：

在物理学方面，高能电子或核子穿过吸收体时，产生级联（或倍增）现象, 在研究电了-光子级联过程的起伏问题时，要用到随机过程，常以泊松过程、弗瑞过程或波伊亚过程作为实际级联的近似，有时还要用到更新过程（见点过程）的概念。当核子穿到吸收体的某一深度时，则可用扩散方程来计算核子的概率分布。物理学中的放射性衰变，粒子计数器，原子核照相乳胶中的径迹理论和原子核反应堆中的问题等的研究，都要用到泊松过程和更新理论。湍流理论以及天文学中的星云密度起伏、辐射传递等研究要用到随机场的理论。探讨太阳黑子的规律及其预测时，时间序列方法非常有用。

化学反应动力学中，研究化学反应的时变率及影响这些时变率的因素问题,自动催化反应，单分子反应,双分子反应及一些连锁反应的动力学模型等，都要以生灭过程（见马尔可夫过程）来描述。随机过程理论所提供的方法对于生物数学具有很大的重要性，许多研究工作者以此来构造生物现象的模型。研究群体的增长问题时，提出了生灭型随机模型，两性增长模型，群体间竞争与生尅模型，群体迁移模型，增长过程的扩散模型等等。有些生物现象还可以利用时间序列模型来进行预报。传染病流行问题要用到具有有限个状态的多变量非线性生灭过程。在遗传问题中，着重研究群体经过多少代遗传后，进入某一固定类和首次进入此固定类的时间，以及最大基因频率的分布等。

总结：数学期望具有广泛的应用价值。实践证明当问题较为复杂时，人们 在保持自身判断的条件下处理大量信息的能力将减弱，在这种情况下，概率论的分析方法可为我们提供强有力的科学工具，帮助作出决策。人们还需综合各方面的因素作出更加合理的决断。

（基础教学部   袁晓华  供稿）